凸性

凸性（convexity）

什么是凸性

　　久期本身也会随着利率的变化而变化。所以它不能完全描述债券价格对利率变动的敏感性，1984年Stanley Diller引进凸性的概念。

　　久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了曲线的弯曲程度。凸性是债券价格对收益率的二阶导数。

$\frac{d^2p}{dy^2}=\sum\frac{t(t+1)c_t}{(1+y)^{t+2}}$

$C=\frac{\frac{d^2p}{dy^2}}{p}=\frac{1}{(1+y)^2}\sum t(t+1)\frac{c_t}{(1+y)^t}$

$\frac{\triangle p}{p}=-MD\times \triangle y+\frac{1}{2}\times C\times (\triangle y)^2$

　　由债券定价定理1与4可知，债券价格-收益率曲线是一条从左上向右下倾斜，并且下凸的曲线。下图中b>a。

　　债券定价定理1：

　　债券价格与到期收益率成反向关系。

若到期收益率大于息票率，则债券价格低于面值，称为折价债券（discount bonds）；

若到期收益率小于息票率，则债券价格高于面值，称为溢价债券（premium bonds）；

若息票率等于到期收益率，则债券价格等于面值，称为平价债券（par bonds）。

　　对于可赎回债券，这一关系不成立。

　　债券定价定理4：

　　若债券期限一定，同等收益率变化下，债券收益率上升导致价格下跌的量，要小于收益率下降导致价格上升的量。

　　例：三债券的面值都为1000元，到期期限5年，息票率7%，当到期收益率变化时。

到期收益率(%) 6 7 8

价格	1042.12	1000	960.07
债券价格变化率(%)	4.21	0	-4.00

　　1、凸性随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。

　　2、对于没有隐含期权的债券来说，凸性总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。

　　3、含有隐含期权的债券的凸性一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。因为利率下降时买入期权的可能性增加了。